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  • 数学分析教案

    时间:2016-08-15来源:海达范文网

    相关热词搜索:数学分析 教案 数学分析比高数难多少 考研数学分析总复习 数学分析考研教案推荐

    篇一:数学分析教案

    教 案

    2006-2007学年第 1 学期

    课 程 名 称:数学分析3

    课 程 编 号:4081103 学院、专业、年级: 数学科学学院、数学与应用数学专业、05级任 课 教 师:姜子文 教 师 所 在 单 位: 数学科学学院

    山东师范大学

    课程简介

    《数学分析》课程是高等师范院校和综合性大学数学类专业——数学与应用数学专业、信息与计算科学专业本、专科的一门重要基础课,是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程的阶梯,是考取数学类硕士研究生的必考基础课之一。本课程内容包括极限论、函数微分学、函数积分学、无穷级数等方面的系统知识,用现代数学工具——极限的思想与方法研究函数的分析特性——连续性、可微性、可积性。本课程所讲授的这些内容和方法是现代应用数学的基础,是数学类专业学生必须具备的最基础的基本训练,是实现数学类专业培养目标的重要基础课。

    《数学分析》课程在大学低年级开设,它集科学性、严密性与连贯性于一体,系统性与逻辑性强,是连接初等数学与高等数学的桥梁,也是区分初等数学与高等数学的标志。对于刚上大学大学生来说,在从初等数学(用非极限方法研究常量数学)到高等数学(用极限方法研究变量数学)的转变过程中,本课程的学习起着关键的作用。通过本课程的学习,学生可以对近代应用数学的发展有一个初步的了解,进而提高学习数学的兴趣,提高应用所学数学知识解决实际问题的能力与意识。通过本课程的讲授,可以引导学生了解当前数学领域的最新发展状况,培养学生探索新知识的意识和能力。

    《数学分析》课程授课时间为三个学期,各学期课程名称分别为:《数学分析(1)》、《数学分析(2) 》、《数学分析(3) 》。其中《数学分析(1)》主要包括如下内容:

    函数;数列极限;函数极限;函数连续性;实数连续性的基本定理;导数与微分。

    授课学期:第一学期;授课总时数:108学时;学分:6学分。

    《数学分析(2) 》主要包括如下的内容:

    不定积分;定积分;定积分的应用;级数理论。

    授课学期:第二学期;授课总时数:108学时;学分:6学分。

    《数学分析(3) 》主要包括如下的内容:

    多元函数偏导数,多元函数可微性,多元函数Taylor公式,多元函数极值,多元函数定积分、面积分、线积分及格林公式,高斯公式,斯托克斯公式。

    授课学期:第三学期;授课总时数:98学时;学分:6学分。

    现用教材:《数学分析》课程现在所用教材为面向21世纪课程教材和国家九五重点教材——华东师范大学主编的《数学分析(上、下册)》(第三版)。

    同步参考教材:《数学分析学习指导书》(上、下册),吴良森等编著;

    《数学分析学习指南》(自编)(上、下及下下册);

    《数学分析研究》,马顺业编著;

    《数学分析讲义》(第三版)(上、下册),刘玉琏等等编著

    等教材或教学参考书。

    教学大纲

    1、说明

    数学分析(3)的教学内容为多元函数的极限与连续、多元函数的微分学、隐函数定理及其应用、含参量正常积分、曲线积分、重积分、曲面积分等七章内容。通过教学,可使学生了解到多元函数与一元函数的差异与联系,理解到积分学多方面的应用。

    另外,由于学期的差异所造成的原因,本学期的数学分析3这门课程还将讲述傅立叶(Fourier)级数这一章内容。

    本课程授课学期:第三学期;授课总时数:108学时;学分:6学分。

    2、课程内容及课时分配

    一、傅立叶(Fourier)级数(11学时)

    三角级数,三角函数系的正交性,傅立叶级数,贝塞尔(Bessel)不等式,黎曼——勒贝格(Riemann-lebesgue)定理,傅立叶级数的部分和公式,按段光滑且以2π为周期的函数展开为傅立叶级数的收敛定理,奇函数与偶函数的傅立叶级数,以2l为周期的函数的傅立叶级数,一致收敛性定理,傅立叶级数的逐项积分与逐项微分,维尔斯特拉斯的函数逼近定理*。

    二、多元函数的极限与连续(13学时)

    平面点集概念(邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等),平面点集的基本定理一区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。

    二元函数概念。

    二重极限,累次极限,二元函数连续性,复合函数的连续性定理,有界闭域上连续函数的性质。

    n 维空间与n元函数(距离、三角形不等式、极限、连续性等)*。

    注:建议用映射观点定义多元函数。

    三、多元函数的微分学(19学时)

    偏导数及其几何意义,全微分概念,全微分的几何意义,全微分存在的充分条件,全微分在近似计算中的应用,方向导数与梯度,复合函数的偏导数与全微分,一阶微分形式的不变性,高阶导数及其与顺序无关性,高阶微分,二元函数的泰勒定理,二元函数极值。

    注:在极值举例中可介绍“最小二乘法”。

    四、隐函数定理及其应用(13学时)

    隐函数概念,隐函数定理,隐函数求导。

    隐函数组概念,隐函数组定理,隐函数组求导,反函数组与坐标变换,函数行列式,函数相关*。

    几何应用,条件极值与拉格朗日乘数法。

    注:建议用映射观点阐述函数组、反函数组与坐标变换的概念。

    五、含参量积分(13学时)

    含参量积分概念,连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换。

    含参量反常积分的收敛与一致收敛,一致收敛的柯西准则,维尔斯特拉斯判别法、连续性、可积性与可微性,积分顺序的交换*。Γ函数与B函数。

    六、曲线积分(10学时)

    第一型和第二型曲线积分概念与计算,格林(Green)公式,曲线积分与路径无关条件。

    七、重积分(16学时)

    平面图形面积,二重积分定义与存在性,二重积分性质,二重积分计算(化为累次积分),二重积分的换元法(极坐标变换与一般变换)。

    三重积分定义与计算,三重积分的换元法(柱坐标变换、球坐标变换与一般变换)。 重积分应用(体积,曲面面积,重心,转动惯量等)。

    n 重积分*。

    无界区域上反常二重积分的收敛性概念,无界函数的反常二重积分。

    注1:用微元法讲重积分应用。

    ?e?x2dx的计算。 注1:在讲授无界区域上非正常二重积分时,介绍?o

    八、曲面积分(13学时)

    曲面的侧,第一型和第二型曲面积分概念与计算,奥斯特罗格拉斯基一高斯公式,斯托克斯(Stokes)公式。

    场论初步(场的概念、梯度场、散度场、旋度场、管量场与有势场)。

    楔积、微分形式、外微分与一般斯托克斯公式*。

    注1:本单元最后的*号部分仅作形式的处理。

    注2:为了与数学分析其它分支联系的更紧密,我们建议主要介绍康托尔的基本序列说,对戴德金德分割说仅介绍其大意。

    《数学分析3》教案

    授课时间 第次课

    篇二:数学分析教案

    S F 01 ( 数 )

    C h 0 数学分析课程简介

    C h 1 实数集与函数

    计划课时: Ch 0 2时

    Ch 1 6时

    P 1—8

    2001.08.25.

    说 明:

    1. 这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案(后来又开设了一学期 ,增加了8 0 学时 ). 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.

    本教案共2 7 9页 ,分2 1章 .

    2. 取材的教材:

    [1] 华东师范大学数学系编,数学分析,高等教育出版社,1996;

    [2] 郑英元,毛羽辉,宋国东, 数学分析习题课教程,高等教育出版社,1991;

    [3] 马振民,数学分析的方法与技巧选讲, 兰州大学出版社,1999;

    [4] 马振民,吕克璞,微积分习题类型分析, 兰州大学出版社,1999;

    [5] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.

    Ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 )

    ?一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.

    2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算:

    3. 数学分析的基本内容:数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

    函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

    微积运算是高等数学的基本运算.

    数学分析与微积分(calculus)的区别..

    二. 数学分析的形成过程:

    1. 孕育于古希腊时期: 在我国,很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes

    就有了积分思想.

    2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:

    3. 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

    析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.

    4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期:参阅

    《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.

    三. 数学分析课的特点:

    逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的80), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

    有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听

    为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

    四. 课堂讲授方法:

    1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

    [1] 华东师范大学数学系编,数学分析,高等教育出版社,1996;

    [2] 郑英元,毛羽辉,宋国东, 数学分析习题课教程,高等教育出版社,1991;

    [3] 马振民,数学分析的方法与技巧选讲, 兰州大学出版社,1999;

    [4] 马振民,吕克璞,微积分习题类型分析, 兰州大学出版社,1999;

    [5] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.

    本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程为适应课时少和学分制的要求,只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章, 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.

    2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

    3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.

    五. 要求、辅导及考试

    1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191,2000.9.30.第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)

    对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

    2. 作业: 作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容. 大体上每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.

    作业要按数学排版格式书写恭整.

    要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为19.5?27.5cm.

    作业布置方式: [1]P…, [4]P…

    3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

    4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.

    考试题为标准化试题.

    Ch 1 实数集与函数 ( 6时 )

    1实数集与确界 (3时)

    一. 实数集R:回顾中学中关于实数集的定义.

    1. 四则运算封闭性:

    2. 三歧性( 即有序性 ):

    3. Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0,?n?N,?na?b.

    4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

    5. 实数集的几何表示 ─── 数轴:

    6. 两实数相等的充要条件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.

    7. 区间和邻域:

    二. 几个重要不等式:

    1. 绝对值不等式: 定义 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六个不等式.

    2. 其他不等式:

    ⑴ a2?b2?2,sinx ? 1.sinx ? x .

    ⑵ 均值不等式: 对?a1,a2,?,an?R?, 记

    M(aa1?a2???an1n

    i)? n? n?ai, (算术平均值)

    i?1

    1

    n

    G(a?n

    i)?a1a2?an?????a?

    i??, (几何平均值)

    i?1?

    H(an

    i)?111?1

    1?n. (调和平均值)

    a????

    1a2ann?n1

    i?1a?n1

    ii?1ai

    有平均值不等式:

    H(ai) ? G(ai) ? M(ai), 等号当且仅当a1?a2???an时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

    ?x??1, 有不等式 (1?x)n?1?nx, n?N.

    当x??1 且 x?0, n?N且n?2时, 有严格不等式 (1?x)n?1?nx.

    (现采用《数学教学研究》1991. № 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1?x?0且1?x?0, ? (1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? n?n n(1?x)?n (1?x). ? (1?x)n?1?nx.

    ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对?h?0, 由二项展开式(1?h)?1?nh?nn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!

    有 (1?h)n?上式右端任何一项.

    三. 有界数集与确界原理:

    1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界), 闭区间、(a,b) (a,b为有限数)、邻域

    等都是有界数集,

    集合 E?yy?sinx, x? ( ?? , ?? )也是有界数集.

    无界数集: 定义, ( ?? , ?? ) ,( ?? , 0 ) ,( 0 , ?? )等都是无界数集,集合 E??y y????

    ?1?,x?( 0 , 1 )?也是无界数集. x?

    2. 确界: 给出直观和刻画两种定义.

    ?(?1 )n? infS?_______. 例1 ⑴S??1??, 则supS?______,n??

    ⑵ E?y y?sinx, x?(0,?). 则 ??

    supE?________,infE?_________.

    例2 非空有界数集的上(或下)确界是唯一的.

    例3 设S和A是非空数集,且有S?A. 则有 supS?supA

    ,infS?infA.. 例4 设A和B是非空数集. 若对?x?A和?y?B,都有x?y, 则有

    supA?infB.

    篇三:数学分析(一)电子教案

    数学分析(一)电子教案

    杨 小 康

    第一章 实数集与函数

    本章教学要求:

    1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。

    2.深入理解一元函数的概念、分段函数的几何特性(尤其是函数有界、无界的分析定

    义),掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数;

    3.理解反函数、周期函数;

    4.对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状,对以前没有接触过的

    Dirichlet函数,符号函数,Gauss函数等要熟悉。

    5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。

    1实数

    教学目的:

    熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。

    教学内容:

    实数的基本性质和绝对值的不等式.

    基本要求:

    1)掌握实数的基本性质:实数的有序性,稠密性,阿基米德性,实数的四则运算。 2)掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。

    一.实数及其性质:

    p?

    能用互质分数 (p,q为整数,q?0)表示的数;?

    有理数:? q

    ?有限十进小数或无限十进循环小数表示的数?

    例1 设 p正整数,若p不是完全平方数,则证明:反证法。若

    nm

    22

    p是无理数

    p?

    nm

    p是有理数,则p可表示成:,从而整数p可表示成:

    p?? p是完全平方数,矛盾

    an?aa.0a1?a(n?1)?99?9 若规定: a0.a1a? 22

    则有限十进小数都能表示成无限循环小数。

    例如:2.001 记为 2.000999? ;0 记为 0.000? ;?8 记为 ?7.999 实数大小的比较

    定义1 给定两个非负实数

    x?a0.a1a2?an?,y?b0.b1b2?bn?

    其中 ak,bk 为非负整数,0?ak,bk?9。若有 1) ak?bk,

    k?0,1,2,? 则称 x 与 y 相等,记为 x?y

    ak?bk,

    (k?0,1,2,?,l,而al?1?bl?1,则称

    2) 若存在非负整数 l,使得

    x 大于 y(或 y 小于 x ),分别记为 x?y(或y?x)。

    对于负实数x,y,若按定义1有 ?x??y,则称 x?y 或 y?x; 规定任何非负实数大于任何负实数; 实数的有理数近似表示

    定义2 设 x?a0.a1a2?an?为非负实数,称有理数

    xn?a0.a1a2?an

    为实数x的n位不足近似值,而有理数

    n?x1n?

    10

    n

    称为x的n位过剩近似值。

    对于负实数 x??a0.a1a2?an?

    x的n位不足近似值规定为:x1n??a0.a1a2?(an?10

    n

    );

    x的n位过剩近似值规定为:n??a0.a1a2?an

    比如

    ?1.4142? ,则

    1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ? 称为

    值; 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, ? 称为

    过剩近似值。

    命题 设 x?a0.a1a2?,

    y?b0.b1b2? 为两个实数,则

    x?y

    ?

    存在非负整数n,使得 xn?n

    例2 设x,y 为实数,x?y,证明:存在有理数 r 满足

    x?r?y

    证明由x?y

    ? 存在非负整数n,使得 xn?n

    n?n ,取 r?

    x2

    则 r显然为有理数,且

    x?xn?r?n?y

    实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性:

    例 设 a为有理数,x为无理数,则a?x是无理数。

    证明:反证法。若a?x是有理数 ? a?x可表示成 a?x?

    mn,

    因a为有理数,a也能表示成 a?

    qp

    ,?

    mqmp?nqx?a?x?a?

    n

    ?

    p

    ?

    np

    为有理数,矛盾

    2有序性 : 任何两个实数 a,b,必满足下述三个关系之一:

    a?b,

    a?b,

    a?b

    3 实数大小有传递性,即a?b,b?c则有a?c.

    4 Achimedes性: ?a,b?R, b?a?0,?n?N,?na?b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6 实数集的几何表示: 数轴: 例i)a?b

    ?

    ???0,

    |a?b|?? ii) ???0,a?b??

    ?

    a?b

    证明 i) ?) 若 a?b,对任意 ??0,显然有 |a?b|?0??

    ?) 反证法。若 a?b ,取??

    |a?b|?0,则 |a?b|?

    |a?b|2

    2

    ??二. 绝对值与不等式 绝对值定义: |a|?,a?0?

    ?a??a,a?0

    从数轴上看的绝对值|a|就是点 a 到原点的距离。 0

    绝对值的一些主要性质

    1.|a|?|?a|?0当且仅当a?0时|a|?02.-|a|?a?|a|

    3.|a|?h?-h<a<h;|a|?h??h?a?h,h?0

    4.

    a?b?a?b?a?b

    5.|ab|?|a||b|6.

    a|a|b?|b|

    ,b?0

    性质4(三角不等式)的证明:

    由性质2 -|a|?a?|a|,-|b|?b?|b|两式相加-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|由性质 3 上式等价于 |a+b|?|a|+|b|把上式的 b 换成 -b 得 |a-b|?|a|+|b|

    由此可推出

    |f(x)?A|??

    ?

    A???f(x)?A??

    |A|???|f(x)|?|A|??

    三. 几个重要不等式:(补充内容)

    (1) a?b?2ab,sinx ? 1.sinx ? x (2) 对?a1,a2,?,an?R?, 记M(ai)?

    a1?a2???an

    n

    n

    22

    ?

    1n

    n

    ?a

    i?1

    i

    , (算术平均值)

    1

    G(ai)?

    n

    a1a2?an

    ??n????ai??, (几何平均值) ?i?1?

    H(ai)?

    n

    1a1

    ?1a2

    ???

    1an

    ?

    11n

    n

    ?

    i?1

    1ai

    ?

    n

    n

    ?a

    i?1

    1

    i

    . (调和平均值)

    有均值不等式:H(ai) ? G(ai) ? M(ai),等号当且仅当a1?a2???an时成立.

    (3) Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对?x?0, 由二项展开式 (1?x)?1?nx?

    ?

    n

    n

    n(n?1)2!

    x2?

    n(n?1)(n?2)

    3!

    x3???xn,

    (1?x)?1?nx,(n?1)

    课后反思:本节主要难点在于对于有理数和无理数的统一表示,重点介绍了实数的性质,以及实数和有理数的性质区别,最后特别提出了任意小的正数?。例如:

    a?b????0,|a?b|??, ???0,a?b???a?b

    2 数集. 确界原理

    教学目的:

    熟练掌握区间、邻域、界、确界概念、会求数集的确界、掌握确界原理及应用

    教学内容: