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  • 高三数学二轮复习教案

    时间:2016-08-15来源:海达范文网

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    篇一:高三数学二轮复习专题教案(人教版)

    集合与简易逻辑

    一、考点回顾

    1、集合的含义及其表示法,子集,全集与补集,子集与并集的定义; 2、集合与其它知识的联系,如一元二次不等式、函数的定义域、值域等; 3、逻辑联结词的含义,四种命题之间的转化,了解反证法;

    4、含全称量词与存在量词的命题的转化,并会判断真假,能写出一个命题的否定; 5、充分条件,必要条件及充要条件的意义,能判断两个命题的充要关系; 6、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 1、集合的概念:

    (1)集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2)集合的分类:

    ①按元素个数分:有限集,无限集;

    ②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线;

    (3)集合的表示法:

    ①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,?};②描述法。 2、两类关系: (1)

    元素与集合的关系,用?或?表示;

    2

    2

    ?(2)集合与集合的关系,用?,? ?,=表示,当A?B时,称A是B的子集;当A?B时,称A是B的真子集。

    3、解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合

    {x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结

    4、注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如A?B,则有A=?

    或A≠?两种可能,此时应分类讨论

    例1、下面四个命题正确的是

    (A)10以内的质数集合是{1,3,5,7} (B)方程x2-4x+4=0的解集是{2,2} (C)0与{0}表示同一个集合 (D)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} 解:选(D),最小的质数是2,不是1,故(A)错;由集合的定义可知(B)(C)都错。 例2、已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m}.若B?A,则实数m= .

    22

    解:由B?A,且m不可能等于-1,可知m=2m-1,解得:m=1。 考点2、集合的运算

    1、交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且x?A},集合

    2

    U表示全集;

    2、运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB), CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。

    3、学会画Venn图,并会用Venn图来解决问题。

    例3、设集合A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},则A?B等于( )

    (A) {x|-

    3<x<1}

    (B) {x|1<x<2} (C){x|x?-3}(D) {x|x?1}

    图1

    1

    解:集合A={x|2x+1<3}={x|x?1},集合A和集合B在数轴上表示如图1所示,A?B是指集合A和集合B的公共部分,故选(A)。

    例4、经统计知,某村有电话的家庭有35家,有农用三轮车的家庭有65家,既有电话又有农用三轮车的家庭有20家,则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 ( )A. 60 B. 70 C. 80D. 90

    解:画出Venn图,如图2,画图可得到有一种物品的家庭数为:15+20+45=80.故选(C)。 例5、(2008广东卷)第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京

    图2

    举行,若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员},集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}。集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( )

    A.A?B B.B?CC.A∩B=CD.B∪C=A 解:由题意可知,应选(D)。 考点3、逻辑联结词与四种命题

    1、命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题; 2、复合命题的形式:p且q,p或q,非p;

    3、复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。

    4、四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。 例6、(2008广东高考)命题“若函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数,则loga2?0”的逆否命题是()

    A、若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数 B、若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内不是减函数 C、若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

    D、若loga2?0,则函数f(x)?logax(a?0,a?1)在其定义域内是减函数

    解:逆否命题是将原命题的结论的否定作为条件,原命题的条件的否定作为结论,故应选(A)。

    例7、已知命题p:方程x?mx?1?0有两个不相等的负数根;q:方程4x?4(m?2)x?1?0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假,求实数m的取值范围.

    ???m2?4?0,

    p:?

    22

    ?m?0,q:??16(m?2)?16?16(m?4m?3)?0?1?m?3?m?2?解:. ,.

    ?p

    2

    2

    或为真,

    qp

    且为假,

    q?p

    真,假或

    qp

    假,真.

    q

    ?m?2,?m≤2,

    ???

    m≤1或m≥3,1?m?3.?或?,故m≥3或1?m≤2.

    考点4、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词

    (1)全称量词:对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词,用符号“?”表示。

    2

    (2)存在量词:对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词,用符号“?”表示。 2.全称命题与特称命题

    (1)全称命题:含有全称量词的命题。“对?x?M,有p(x)成立”简记成“?x?M,p(x)”。

    (2)特称命题:含有存在量词的命题。“?x?M,有p(x)成立” 简记成“?x?M,p(x)”。3. 同一个全称命题、特称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,现列表如下,供参考。 命题 表述 方法

    全称命题?x?M,p(x) ①所有的x?M,使p(x)成立 ②对一切x?M,使p(x)成立 ③对每一个x?M,使p(x)成立 ④任给一个x?M,使p(x)成立 ⑤若x?M,则p(x)成立

    4.常见词语的否定如下表所示: 词语 词语的否定 词语 词语的否定

    是 不是 且 或

    一定是 一定不是 必有一个 一个也没有

    都是 不都是 至少有n个 至多有n-1个

    大于 小于或等于 至多有一个 至少有两个

    小于 大于或等于 所有x成立 存在一个x不成立

    例8、(2007山东)命题“对任意的x?R,x3?x2?1?0”的否定是( )

    A.不存在x?R,x3?x2?1?0B.存在x?R,x3?x2?1?0 C.存在x?R,x3?x2?1?0 D. 对任意的x?R,x3?x2?1?0

    解:命题的否定与否命题不同,命题的否定是将全称量词改为特称量词,或将特称量词改为全称量词,再否定结论即可,故选(C)。

    例9、命题“?x?0,有x2?0”的否定是.

    2解:将“存在”改为“任意”,再否定结论,注意存在与任意的数学符号表示法,答案:?x?0,有x?0

    特称命题?x?M,p(x) ①存在x?M,使p(x)成立 ②至少有一个x?M,使p(x)成立 ③对有些x?M,使p(x)成立 ④对某个x?M,使p(x)成立 ⑤有一个x?M,使p(x)成立

    考点5、充分条件与必要条件

    1、在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,理解“越小越充分”的含义。

    2

    例10、(2008安徽卷)a?0是方程ax?2x?1?0至少有一个负数根的( )

    A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

    x1x2?

    1a?0

    解:当??2?4a?0,得a<1时方程有根。a<0时,所以选(B)。

    2

    ,方程有负根,又a=1时,方程根为x??1,

    例11、(2008湖北卷)若集合P??1,2,3,4?,Q??x0?x?5,x?R?,则:( ) A. x?R是x?Q的充分条件,不是x?Q的必要条件 B. x?R不是x?Q的充分条件,是x?Q的必要条件 Cx?R是x?Q的充分条件,又是x?Q的必要条件.

    3

    D.x?R既不是x?Q的充分条件,又不是x?Q的必要条件 解:x?P?x?Q反之不然故选A 三、方法总结与高考预测

    (一)思想方法总结

    1. 数形结合2. 分类讨论 (二)高考预测

    1.集合是每年高考必考的知识点之一。题型一般是选择和填空的形式,主要考查集合的运算和求有限集合的子集及其个数.

    2.简易逻辑是在高考中应一般在选择题、填空题中出现,如果在解答题中出现,则只会是中低档题. 3.集合、简易逻辑知识,作为一种数学工具,在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用,高考题中常以上面内容为载体,以集合的语言为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现. 四、复习建议

    1.在复习中首先把握基础性知识,深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法.重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法.要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题. 2.涉及本单元知识点的高考题,综合性大题不多.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射,集合与自然数集,集合与不等式,集合与方程等,充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现,难度不大。就可以了

    3.活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点。利用定义,可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件,证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。 4.重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观,形缺数时难入微”。当你所研究的问题较为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建议便是:画个图!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题。

    5.实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分,任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如,求函数的单调区间,必须在定义域范围内;通过求出反函数的定义域,可得到原函数的值域;定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此,应熟练掌握求函数定义域的原则与方法,并贯彻到解题中去。

    6.强化“分类思想”应用。指数函数与对数函数的性质均与其底数是否大于1有关;对于根式的意义及其性质的讨论要分清n是奇数还是偶数等。

    4

    不等式

    一、考点知识回顾

    不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 不等式的基本性质有:

    对称性:a>b?b<a;传递性:若a>b,b>c,则a>c;可加性:a>b?a+c>b+c; 可乘性:a>b,当c>0时,ac>bc;当c<0时,ac<bc。 不等式运算性质:

    (1)同向相加:若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)异向相减:a?b,c?d?a?c?b?d.

    (3)正数同向相乘:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。 (4)乘方法则:若a>b>0,n∈N+,则a?b; (5)开方法则:若a>b>0,n∈N+,则 na ? nb ;(6)倒数法则:若ab>0,a>b,则 11 。

    2

    2

    2222

    广为a+b≥2|ab|;或变形为|ab|≤ a? b; 当a,b≥0时,a+b≥2ab或ab≤.

    n

    n

    ? 2、基本不等式(或均值不等式);利用完全平方式的性质,可得a+b≥2ab(a,b∈R)ab

    ?a?b?

    ???2?

    2

    3、不等式的证明:

    不等式证明的常用方法:比较法,公式法,分析法,反证法,换元法,放缩法; 在不等式证明过程中,应注重与不等式的运算性质联合使用; 证明不等式的过程中,放大或缩小应适度。

    2

    不等式的解法:

    解不等式是寻找使不等式成立的充要条件,因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

    一元二次不等式(组)是解不等式的基础,一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数,方程的联系

    222

    求一般的一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0(a?0)的解集,要结合ax?bx?c?0的根及

    二次函数

    y?ax?bx?c

    2

    2

    图象确定解集.

    y?ax?bx?c(a?0)

    2

    2对于一元二次方程ax?bx?c?0(a?0),设??b?4ac,它的解按照??0,??0,??0可分为三种

    情况.相应地,二次函数

    的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此,我们分

    2

    三种情况讨论对应的一元二次不等式ax?bx?c?0(a?0)的解集,注意三个“二次”的联系。 含参数的不等式应适当分类讨论。

    5、不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域,值域,研究函数单调性等。在解决问题过程中,应当善于发现具体问题背景下的不等式模型。

    用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 研究不等式结合函数思想,数形结合思想,等价变换思想等。 6、线性规划问题的解题方法和步骤

    解决简单线性规划问题的方法是图解法,即借助直线(线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线)与平面区域(可行域)有交点时,直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下: (1)设出未知数,确定目标函数。

    (2)确定线性约束条件,并在直角坐标系中画出对应的平面区域,即可行域。

    a

    z

    (3)由目标函数z=ax+by变形为y=- x+ z的最值可看成是求直线y=- + y轴

    bbbb

    上截距的最值(其中a、b是常数,z随x,y的变化而变化)。 (4)作平行线:将直线ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行线),使直线与可行域有交点,且观察在可行域中使

    b

    (5)求出最优解:将(4)中求出的坐标代入目标函数,从而求出z的最大(或最小)值。 7、绝对值不等式

    (1)|x|<a(a>0)的解集为:{x|-a<x<a};

    |x|>a(a>0)的解集为:{x|x>a或x<-a}。 (2)||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|

    5

    az

    z

    篇二:高三数学二轮复习教案

    高三数学二轮复习教案

    学 校:寿县迎河中学 汇 编: 龙 如 山

    第一部分:三角问题的题型与方法

    一、考试内容

    角的概念的推广,角度制与弧度制; 任意角的三角函数,单位圆中的三角函数线,同角三角函数的基本关系式:sin2a+cos2a=1, sin a/cos a=tan a, tan a cot a=1,正弦、余弦的诱导公式;两角和与差的正弦、余弦、正切,二倍角的正弦、余弦、正切;正弦函数、余弦函数的图象和性质,周期函数,函数y=Asin(ωx+ψ)的图象,正切函数的图象和性质,已知三角函数值求角;正弦定理,余弦定理,斜三角形解法举例。 二、考试要求

    1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切的定义,掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。

    3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

    4.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图,理解A、ω、ψ的物理意义。

    三、复习目标

    1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等.

    2.熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等.并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.

    3.掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题.

    4.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质.

    5.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、 6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 四、双基透视 1.三角变换:

    三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换; 三角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式; 三角代换是以三角函数的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代数式转化为三角式,然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使问题得以解决. 2.三角形中的三角变换

    三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点.

    (1)角的变换

    因为在△ABC中,A+B+C=π,所以

    sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC.

    (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.

    r为三角形内切圆半径,p为周长之半.

    在非直角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanA〃tanB〃tanC. (4)在△ABC中,熟记并会证明:

    ∠A,∠B,∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.

    △ABC是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C成等差数列且a,b,c成等比数列.

    3.斜三角形中各元素间的关系:

    如图6-29,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边.

    (1)三角形内角和:A+B+C=π.

    (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.

    asinA

    ?

    bsinB

    ?

    csinC

    ?2R

    (R为外接圆半径)

    (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

    222

    a=b+c-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB, c2=a2+b2-2abcosC.

    4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未

    知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、

    中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一

    般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形.

    解斜三角形的主要依据是:

    设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C. (1)角与角关系:A+B+C = π,

    (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c, b-c < a,c-a > b. (3)边与角关系:

    正弦定理

    asinA

    2

    ?

    2

    bsinB

    2

    ?

    csinC

    ?2R

    2

    (R为外接圆半径).

    2

    2

    2

    2

    2

    余弦定理 c = a+b-2bccosC,b = a+c-2accosB,a = b+c-2bccosA. 它们的变形形式有:a = 2R sinA,(4)面积公式:

    S??

    12aha?

    12bhb?

    12chc?

    12

    absinC?

    12

    acsinB?

    12bcsinA

    sinAsinB

    ?ab

    ,cos

    A?

    b

    2

    ?c

    2

    ?a

    2

    2bc

    解斜三角形的常规思维方法是:

    (1)已知两角和一边(如A、B、C),由A+B+C = π求C,由正弦定理求a、

    b.

    (2)已知两边和夹角(如a、b、c),应用余弦定理求c边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C =π,求另一角.

    (3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况.

    (4)已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由A+B+C = π,求角C. 五、思想方法

    1.三角函数恒等变形的基本策略。

    (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx〃cotx=tan45°等。

    (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:2

    sinx+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=

    ???

    2

    ???

    2

    等。

    (3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

    (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)。 (5)引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2?b2sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定,?角的值由tan?=

    ba

    确定。

    2.证明三角等式的思路和方法。

    (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

    (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。

    3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。

    4.解答三角高考题的策略。

    (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。. 六、范例分析 例1、已知tan??值. 解:(1)

    cos??sin?cos??sin?

    1??

    sin?

    22

    ??3?22;

    1?tan?1?cos???

    sin?1?tan?1?1?

    cos?

    2

    2

    2

    2,求(1)

    cos??sin?cos??sin?

    ;(2)sin2??sin?.cos??2cos2?的

    (2) sin??sin?cos??2cos??

    2

    sin??sin?cos??2cos?

    sin??cos?

    2

    2

    sin?

    2

    2

    ?2sin?

    ?12

    cos?

    ?

    sin?

    ?2

    ?

    2?2?22?1

    ?

    4?3

    2

    .

    说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。 例2: 已知函数y?sin2x?2sinxsin(

    ?

    2

    ?x)?3sin(

    2

    3?2

    ?x)

    .

    (1)若tanx

    ?

    12

    ,求y的值; (2)若x?[0,],求函数单调区间及值域.

    2

    x?

    ?

    解:y?sin2x?

    2sinxcosx?3cos2x?重要,解题一定要注意) ⑴y?

    sinx?2sinxcosx?3cosx

    sinx?cosx

    2

    2

    2

    2

    ?

    4

    )?2……3分(这一步至关

    ?

    tanx?2tanx?3

    tanx?1

    2

    2

    ?

    175

    .……5分

    ⑵在[0,]上单调递增,在[,]上单调递减. ……2分

    8

    8

    2

    ???

    所以,当x?

    [1,2?

    ?

    8

    ,ymax?2?;当x?分

    ?

    2

    时,ymin?1.故y的值域

    .]……2

    例3

    :已知函数f(x)??x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数,且函数y?f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

    π6

    π

    .(Ⅰ)求f??的值;

    2?8?

    ?π?

    (Ⅱ)将函数y?f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y?g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.

    篇三:2013届高三数学二轮复习精品教学案(共10专题):【专题一】数形结合思想

    【专题一】数形结合思想

    【考情分析】

    在高考题中,数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

    从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,预测2013年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查,是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查,是对学生思维品质和数学技能的考查,是新课标高考明确的一个命题方向。

    1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

    2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查”,灵活运用数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。

    3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与数学知识相结合”, 用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

    4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是 “以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是 “以数助形”,还有导数更是数形形结合的产物,这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。

    5.在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果,“数形结合千般好,数形分离万事休”。

    纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。

    【知识归纳】

    数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。

    应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化: 数形结合思想解决的问题常有以下几种:

    (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围; (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;

    (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;

    (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; (5)构建立体几何模型研究代数问题;

    (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; (7)构建方程模型,求根的个数;

    (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 常见适用数形结合的两个着力点是:

    以形助数常用的有:借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方法.

    以数助形常用的有:借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合。

    数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点:(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域;(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图象,由图求解.这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决。

    1.数形结合的途径

    (1)通过坐标系形题数解

    借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的);值得强调的是,形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理)

    实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、

    22

    三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式(x?2)?(y?1)?4。

    常见方法有:

    ①解析法:建立适当的坐标系(直角坐标系,极坐标系),引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。

    ②三角法:将几何问题与三角形沟通,运用三角代数知识获得探求结合的途径。

    ③向量法:将几何图形向量化,运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。

    (2)通过转化构造数题形解

    许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a>0与距离互化,将a2与面积互化,将a2+b2+ab=a2+b2-2abcos?(??60?或??120?)与余弦定理沟通,将a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)。另外,(转载于:www.smhaida.com 海 达 范 文网:高三数学二轮复习教案)函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。

    常见的转换途径为: ①方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题,并借助函数的图象和性质解决相关的问题。

    ????

    ②利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。

    (3)构造几何模型。通过代数式的结构分析,构造出符合代数式的几何图形,如将a与正方形的面积互化,将abc

    (4)利用解析几何中的曲线与方程的关系,重要的公式(如两点间的距

    d?

    2

    ,直线的斜率,直线的截距)、定

    义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。

    2.数形结合的原则

    (1)等价性原则

    在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导。

    (2)双向性原则

    在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的。

    例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。

    (3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法,几何问题寻找代数方法。

    【考点例析】

    题型1:数轴、韦恩图在集合中的应用

    例1.(1)(2012高考真题浙江理1)设集合A={x|1<x<4},集合B ={x|x2-2x-3≤0}, 则A∩(CRB)=( )

    A.(1,4) B.(3,4) C..(1,3)D.(1,2)∪(3,4)

    2

    解析:B;B ={x|x-2x-3≤0}={x|?1?x?3},A∩(CRB)={x|1<x<

    4}?{x|x??1,或x?3}={x|3?x?4}。故选B.

    点评:不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是否符合题意。

    (2)(2011湖南文1)设全集U?M?N?{1,2,3,4,5},M?CUN?{2,4},则N?( ) A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4} 解析:B;解析:画出韦恩图,可知N?{1,3,5}。

    点评:本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 3)(2012高考真题重庆理10)设

    平面点集

    ?1?22

    A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)?(y?1)?1,则A?B所表示的平面图形

    x??

    ??

    的面积为( )

    (A)

    34

    ? (B)

    4?

    ?(C)? (D) 5723

    ?y?x?0?y?x?0

    ??

    解析:D;由(y?x)(y?)?0可知?或者?,在同一坐标系中做出平面11

    xy??0y??0??

    xx??

    1

    区域如图,由图象可知A?B的区域为阴影部分,根据对称性可知,两部分阴影面积之和为圆面

    ?

    积的一半,所以面积为,选D.

    2

    题型2:函数图像的价值

    例2.(1)(2012高考真题江西理10)如右图,已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记

    SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y?V(x)的图像大致为( )

    解析:A;(定性法)当0?x?减的速度越来越快;当

    12

    12

    时,随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递

    ?x?1时,随着x的增大,观察图形可知,V?x?单调递减,且递减的

    速度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有A图象符合.故选

    A.

    【点评】对于函数图象的识别问题,若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时,作为选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用定性法,不但求解快速,而且准确节约时间.

    (2)(2012高考真题山东理12)设函数f(x)?

    1x

    ,g(x)?ax?bx(a,b?R,a?0),若

    2

    y?f(x)的图象与y?g(x)图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正

    确的是()

    A.当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0

    B. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0 D. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0

    C. 当a?0时,x1?x2?0,y1?y2?0

    解析:B;在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当a?0时,要想满足条件,则有如图,

    做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为(?x1,?y1),由图象知?x1?x2,?y1?y2,即x1?x2?0,y1?y2?0,同理当a?0时,则有x1?x2?0,y1?y2?0,故答案选B.

    另法:F(x)?x3?bx2?1,则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解,故其有且仅有两个不同零点x1,x2.

    由F?(x)?0得x?0或x?

    2F(b)?

    0由此得b?323

    b

    .这样,必须且只须F(0)?0或F(b)?0,因为F(0)?1,故必有

    3

    23b?

    2

    不妨设x1?x2,

    则x2?

    .

    所以F(x)?(x?x1)(x?2,比较

    1x1

    ?1x2

    ?x1?x2x1x2

    ?0

    系数得?x?

    1,故x1??

    答案为B.

    x1?x2?

    ,由此知y1?y2?,故

    点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对值不等式,中档题,借形言数。

    (3)(2012高考真题湖南理8)已知两条直线l1 :y=m 和l2: y=

    82m?1

    (m>0),l1与函数

    y?log2x的图像从左至右相交于点A,B ,l2与函数y?log2x的图像从左至右相交于

    C,D .