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  • 高等数学教案例题

    时间:2016-08-10来源:海达范文网

    相关热词搜索:例题 数学教案 应用高等数学例题详解 求极限lim的典型例题 经管类高等数学例题书

    篇一:高等数学教案

    课程名称 高等数学

    授课班级 天原2大专班

    授课教师 付海龙

    第一次课

    第二次课

    篇二:高等数学教案

    篇三:高等数学word教案

    第14 次课2学时

    第一节中值定理

    中值定理

    1.

    罗尔定理

    如f?x?满足:(1)在?a,b?连续.(2)在

    ?a,b?可导.(3)f(a

    )?f(b), 则至少存在一点

    ???a,b?,使f/????0

    证明:(1) 如果f(x)是常函数? 则f ?(x)?0? 定理的结论显然成立?

    (2) 如果f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最

    大值点??(a? b)? 于是

    f?(?)?f??(?)?lim?

    x??

    f(x)?f(?)

    ?0?

    x??f(x)?f(?)

    ?0?

    x??

    f?(?)?f??(?)?lim?

    x??

    所以f ?(x)=0.

    罗尔定理的几何意义?

    直于x 线的切线水平。 例1设g

    ?x??x?x?1??2x?1?则

    在区间(-1,0)内,方程g/?x??0有2个实根;g//?x??0有1个根. 例2设f?x?在[0,1]可导,且f?0??f?1??0,证明存在???0,1?,使f?????f证: 设F?x??xf?x?在[a,b]可导,F?0??F?1? ∴存在???0,1?使F????0即f?????f

    /

    /

    /

    ????0。

    ????0.

    /

    例3设f?x?在[0,1]可导,且f?0??f?1??0,证明存在???0,1?,使F????F????0 。 解: 设F?x??ef?x?,且F?0??F?1?由罗尔定理,存在???0,1?, 使F????0 ,

    x

    /

    即ef????ef????0,e?0,? f????f

    ?

    ?

    /

    ?/

    ????0

    2、 拉格朗日中值定理

    如满足:在[a,b]连续;在(a,b)连续,则存在???a,b?,使f?b??f?a??f/????b?a?. 证明? 引进辅助函数??(x)?f(x)?

    f(b)?f(a)

    x?

    b?a

    容易验证函数??(x)适合罗尔定理的条件? ?(a)??(b)?0? ?(x)在闭区间[a? b] 上连续在开区间(a? b)内可导?

    且???(x)?f ?(x)?

    f(b)?f(a)

    ?

    b?a

    根据罗尔定理? 可知在开区间(a? b)内至少有一点?? 使? ?(?)?0? 即

    f(b)?f(a)

    ?0?

    b?a

    f(b)?f(a)

    由此得 ? f ?(?) ?

    b?a

    f ?(?)?

    即 f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a)? 定理证毕?

    直于x

    拉格朗日中值公式的其它形式?

    设x 为区间[a? b]内一点? x??x 为这区间内的另一点(?x>0或?x<0)? 则在[x? x??x ] (?x>0)或[x??x? x ] (?x<0)应用拉格朗日中值公式? 得

    f(x??x)?f(x)?f ?(x???x) ? ?x (0<?<1)?

    如果记f(x)为y? 则上式又可写为

    ?y?f ?(x???x) ? ?x (0<?<1)?

    试与微分d y?f ?(x) ? ?x 比较? d y ?f ?(x) ? ?x是函数增量?y 的近似表达式? 而 f ?(x???x) ? ?x是函数增量?y 的精确表达式? 推论:⑴ 如果在区间I上f/?x??0,则f?x??c.

    证 在区间I上任取两点x1? x2(x1<x2)? 应用拉格朗日中值定理? 就得

    f(x2)?f(x1)?f ?(?)(x2 ? x1) (x1<?< x2)?

    由假定? f ?(?)?0? 所以f(x2)?f(x1)?0? 即 f(x2)?f(x1)?

    因为x1? x2是I上任意两点? 所以上面的等式表明? f(x)在I上的函数值总是相等的? 这就是说? f(x)在区间I上是一个常数? 例4 证明对任意满足x?1的x, 都有 arctg?x?1arcsinx??.

    1?x

    2

    4

    证明:设 f?x??arctg?x?1arcsinx

    1?x2

    f/?x??

    11?211

    ???2

    1?x?x1?x2?x21?21?x1?x

    1 ??1?1?x?1?x?2? ?022?x21?x2?x2

    ? ∴∴f?x??c∵

    f?0??

    4

    f?x??

    ?

    4

    例5

    设?x?0?,证明x?ln?1?x??x.

    1?x

    证明:设f(t)?ln(1?x),则f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值条件, 则有f(x)?f(0)?f(?)(x?0),0???x. 又由于f(0)?0,f(?)?

    '

    '

    1

    ,所以上式即为 1??

    ln(1?x)?

    xxx,又由于0???x,有??x,即 1??1?x1??

    x

    ?ln?1?x??x. 1?x

    3. 柯西中值定理

    如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内的每一点处均不为零? 那么在(a? b)内至少有一点??? 使等式

    f(b)?f(a)f?(?)

    ? ?

    F(b)?F(a)F()成立?

    显然? 如果取F(x)?x? 那么F(b)?F(a)?b?a? F ?(x)?1? 因而柯西中值公式就可以写成?

    f(b)?f(a)?f ?(?)(b?a) (a<?<b)?

    这样就变成了拉格朗日中值公式了?

    第次课学时

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