排列数学教案
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1.2排列与组合
1.2.1 排列
【教学目标】
知识与技能：
理解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题。 过程与方法：
经历排列数公式的推导过程以及将简单的计数问题划归为排列问题的过程，从中体会“化归”的数学思想。 情感、态度与价值观：
能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力。
【重点难点】
教学重点：排列、排列数的概念。
教学难点：排列数公式的推导，利用排列和排列数公式解决简单的计数问题。
第一课时
【教学过程】
一.复习回顾
提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并谈一谈两个计数原理的区别和联系。
活动成果：
1.分类加法计数原理：如果完成一件事情有k类方案，由第1类方案有n1种方法可以完成，由第2类方案有n2种方法可以完成，??由第k类方案有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+??+nk种不同的方法。
2. 分步乘法计数原理：如果完成一件事情可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，??，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×??×nk种不同方法.
3.相同点：都是探究“完成一件事情所用不同方法总数”的计数原理。
不同点：强调分类（不重不漏），类与类之间相互独立，每一类中的每一种方法都能独立的完成这件事。 强调分步（步骤完整，前一步方法的选择不能影响到后一步方法的选择），步与步之间相互关联，只有
每一步依次完成后才能完成这件事。
设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础。
二.探究新知
提出问题2：下面三个问题有什么共同的特点？能否给这一类计数问题找到一种简便的计数方法呢？（可利用已学习的计数原理解决）
1.从安丰中学高三（18）班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,一名担任副班长 ,则共有多少种不同的选法?
2.从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
3.从a、b、c、d、e 5个字母中，任取4个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
活动成果：从n个不同的元素中，任取m（ｍ≤ｎ，m,n?N?）个元素（被取的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。（板书课题）
【师】123和321是同一个排列吗？两个相同的排列需要具备哪些条件？
【生】一、元素完全相同二、元素的排列顺序也相同
【师】排列数：从n个不同元素中，任取m（m?n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mAn排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，．．．．．不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（m?nm符号An
设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力。
【师】由以上两个问题我们发现
意义和数值呢？ 33mA32?3?2?6，A,An 4? 4?3?2?24，你能否得出An2，An（m?n）的
活动成果：An23m?n(n?1)，An?n(n?1)(n?2)(n?m?1)(m,n?N?,m?n) ?n(n?1)(n?2)，An
(说明公式的特点和最后一个因数的由来)
设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式。
m?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)(m,n?N?,m?n)，特别地，ｎ个不同元素全部取【师】板书排列数公式An
nAn?n(n?1)(n?2)?2?1?n出的一个排列，叫做ｎ个元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
m
n！ Annn!(叫做n的阶乘)，另外我们规定0！=1，所以A?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)==n?m n?m!An?m
（结合课本例1让同学感受猜想-证明的数学思维过程，让同学概括公式的特点，进一步熟悉公式的结构）
三、理解新知
提出问题3：分析下列问题是不是排列问题，如果是，求出排列数，如果不是，请说明理由？
（1）从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同的结果有多少种?
（2）从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同的结果有多少种?
活动成果：（1）不是 （2）是
设计意图：加深对排列和排列数的理解。
四、应用新知
【例1】（1）若An?17?16?15???5?4，则n=______,m=_______
(2) 若n?N,且55?n?69,则（55-n）(56-n)?(68-n)(69-n)用排列数符号表示为___________ ?m
活动成果：(1)1714 (2)
【例2】解方程A9?6A9xx?215A69-n
活动成果：8（解方程或不等式，一定要注意x的范围）
【巩固练习】不等式A9x?6A9x?2的解集为_______________________ 答案：?3,4,5,6,7?
五、课堂小结
1.知识收获：排列概念、排列数公式
2.方法收获：化归
3.思维收获：分类讨论、化归思想
六、布置作业
七、板书设计
【教学反思】排列概念的形成和排列数公式的推导一定要把主动权交给学生，教师可适当补充，让学生感受从特殊到一般的思维过程和体会化归的数学思想。
篇二：高中数学教案：排列与组合
排列与组合
一、知识网络
二、高考考点
1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；
3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
三、知识要点
一．分类计数原理与分步计算原理
1 分类计算原理（加法原理）：
完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1+ m2+?+ mn种不同的方法。
2 分步计数原理（乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= m1× m2×?× mn种不同的方法。
3、认知：
上述两个原理都是研究完成一件事有多少种不同方法的计数依据，它们的区别在于，加法原理的要害是分类：将完成一件事的方法分成若干类，并且各类办法以及各类办法中的各种方法相互独立，运用任何一类办法的任何一种方法均可独立完成这件事；乘法原理的要害是分步：将完成一件事分为若干步骤进行，各个步骤不可缺少，只有当各个步骤依次完成后这件事才告完成（在这里，完成某一步的任何一种方法只能完成这一个步骤，而不能独立完成这件事）。
二．排列
1 定义
（1）从n个不同元素中取出m（
素中取出m个元素的一排列。
（2）从n个不同元素中取出m（
m个元素的排列数，记为 . ）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元
2 排列数的公式与性质
（1）排列数的公式：
=n（n-1）（n-2）?×3×2×1
规定：0！=1
（2）排列数的性质： =n（n-1）（n-2）?（n-m+1）=特例：当m=n时， =n！
（Ⅰ） = （排列数上标、下标同时减1（或加1）后与原排列数的联系）（Ⅱ） （排列数上标加1或下标减1后与原排列数的联系）（Ⅲ）
三．组合 （分解或合并的依据）
1 定义 （1）从n个不同元素中取出
个元素的一个组合
（2）从n个不同元素中取出
个元素的组合数，用符号 表示。 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 2 组合数的公式与性质
（1）组合数公式： （乘积表示）
（阶乘表示） 特例：
（2）组合数的主要性质：
（Ⅰ） （上标变换公式）
（Ⅱ）
四、经典例题 （杨辉恒等式）
例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（ ）
A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种
例2、已知集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5}，映射
为奇数，则这样的映射
，当x∈M时， 的个数是（） A.20 B.18 C.32 D.24
例3、在中有4个编号为1，2，3，4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、蓝、黄、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂法？
例4、将字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A.6种 B.9种 C.11种 D.23种
例5、用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字4位数，其中，必含数字2和3，并且2和3不相邻的四位数有多少个？
例6、
A.720种 B.480种 C.24种 D.20种
例8、用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡片有写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张，则字母不同，且3种颜色齐全的取法有多少种？
例9、 （1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？
（3）将四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共多少种？
（4）某产品共有4只次品和6只正品，每只产品均不相同，现在每次取出一只产品测试，直到4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况有多少种？
排列组合练习题
1、三个同学必须从四种不同的选修课中选一种自己想学的课程，共有种不同的选
法。
2、8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有种。
3、乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、
三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种。
4、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星
期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有。
5、有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，
其它每人一本，则共有种不同的奖法。
6、有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。
7、有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在
书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种。
8、五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有 种
陈列方法。
9、有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有种不同的排法。
10、五个人排成一排，要求甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数是 11、6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。
12、4名男生和3名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。
13、有4男4女排成一排，要求女的互不相邻有种排法；要求男女相间有 种
排法。
14、一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。
15、三个人坐在一排7个座位上，若3个人中间没有空位，有种坐法。若4个
空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。
16、由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在
一起， 则不同的5位数共有 个。
17、有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不
同的排法有 种。
18、从6名短跑运动员中选4人参加4?100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能
跑第四棒，共有种参赛方案。
19、现有6名同学站成一排：甲不站排头也不站排尾有 种不同的排法 甲不站排
头，且乙不站排尾有 种不同的排法
20、有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。
21、以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。
22、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数
字小于百位数字，则这样的数共有 个。
23、A，B，C，D，E五人站一排，B必须站A右边，则不同的排法有 种。
24、晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又加了2个节目，若将这2 个节目插入原节
目单中，则不同的插法有 种。
25、书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有书的相对顺序不变，则不同的放法
有 种。
篇三：高中数学教案 排列 -数学教案
排列 -数学教案
教学目标
（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；
（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；
（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．排列数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数．排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数．
公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好 的推导．
排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．
在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．
在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．
三、教法建议
①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念．一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号 表示排列数．
②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．
在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．
在排列的定义中 ，如果 有的书上叫选排列，如果 ，此时叫全排列．
要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题．
③关于排列数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导 ， ，?，再推广到 ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．
导出公式 后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是 ，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．
公式 是在引出全排列数公式 后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．
④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．
⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．
教学设计示例
排列
教学目标
（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；
（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
（3）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
教学重点难点
重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。
难点是解有关排列的应用题。
教学过程设计
一、 复习引入
上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：
1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．
（1）从中任取1本，有多少种取法？
（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？
2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，
http://jiaoan.cnkjz.com/Article/Index.html>计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？
找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程
第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000．
第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区??所以共需3×5=15个实验小区．
二、 讲授新课
学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：
1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？由学生设计好方案并回答．
（1）用加法原理设计方案．
首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．
（2）用乘法原理设计方案．
首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．
根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票
再看一个实例．
在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？
找学生谈自己对这个问题的想法．
事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；