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  • 高中数学选修22教案

    时间:2016-08-10来源:海达范文网

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    篇一:高中数学人教版选修2-2全套教案

    高中数学人教版选修2-2全套教案

    目 录

    目 录 .................................................................................................................................................................... I

    第一章 导数及其应用 ........................................................................................................................................... 1

    1.1.1变化率问题 ............................................................................................................................................ 1

    导数与导函数的概念 ....................................................................................................................................... 4

    1.1.2导数的概念 ............................................................................................................................................ 6

    1.1.3导数的几何意义 .................................................................................................................................... 9

    1.2.1几个常用函数的导数 .......................................................................................................................... 13

    1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ................................................................................... 16

    1.2.2复合函数的求导法则 .......................................................................................................................... 20

    1.3.1函数的单调性与导数(2课时) ....................................................................................................... 23

    1.3.2函数的极值与导数(2课时) ........................................................................................................... 28

    1.3.3函数的最大(小)值与导数(2课时)............................................................................................ 32

    1.4生活中的优化问题举例(2课时) ...................................................................................................... 35

    1.5.3定积分的概念 ...................................................................................................................................... 39

    第二章 推理与证明 ............................................................................................................................................... 43

    合情推理 ......................................................................................................................................................... 43

    类比推理 ......................................................................................................................................................... 46

    演绎推理 ......................................................................................................................................................... 49

    推理案例赏识 ................................................................................................................................................. 51

    直接证明--综合法与分析法 ........................................................................................................................... 53

    间接证明--反证法 ........................................................................................................................................... 55

    数学归纳法 ..................................................................................................................................................... 57

    第3章 数系的扩充与复数的引入 ....................................................................................................................... 68

    3.1数系的扩充和复数的概念 ..................................................................................................................... 68

    3.1.1数系的扩充和复数的概念 .................................................................................................................. 68

    3.1.2复数的几何意义 ................................................................................................................................ 71

    3.2复数代数形式的四则运算 ..................................................................................................................... 74

    3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义............................................................................................... 74

    3.2.2复数代数形式的乘除运算 .................................................................................................................. 78

    第一章 导数及其应用

    1.1.1变化率问题

    教学目标:

    1.理解平均变化率的概念;

    2.了解平均变化率的几何意义;

    3.会求函数在某点处附近的平均变化率

    教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;

    教学难点:平均变化率的概念.

    教学过程:

    一.创设情景

    为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

    一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

    二、求曲线的切线;

    三、求已知函数的最大值与最小值;

    四、求长度、面积、体积和重心等。

    导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

    二.新课讲授

    (一)问题提出

    问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

    ? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?43?r 3

    ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3V 4?

    分析: r(V)?3V, 4?

    ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) 气球的平均膨胀率为r(1)?r(0)?0.62(dm/L) 1?0

    ⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) 气球的平均膨胀率为r(2)?r(1)?0.16(dm/L) 2?1

    可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

    思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

    r(V2)?

    r(V1) V2?V1

    问题2 高台跳水

    在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

    思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度

    h(0.5)?h(0)?4.05(m/s); 0.5?0

    h(2)?h(1)??8.2(m/s) 在1?t?2这段时间里,v?2?1

    65探究:计算运动员在0?t?这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49在0?t?0.5这段时间里,v?

    ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

    ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

    探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0), 49

    65)?h(0)所以v??0(s/m), 65?049

    65虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,49h(

    可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

    (二)平均变化率概念:

    1.上述问题中的变化率可用式子 f(x2)?f(x1)表示,x2?x1 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

    2.若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))

    3. 则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?? ??x?xx2?x1?x

    思考:观察函数f(x)的图象

    三.典例分析

    2O 1 2 x 例1.已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则

    ?y?. ?x

    解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x), ?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x

    例2. 求y?x2在x?x0附近的平均变化率。

    ?y(x0??x)2?x0解:?y?(x0??x)?x0,所以 ??x?x222

    x0?2x0?x??x2?x0??2x0??x ?x

    所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x

    四.课堂练习

    1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.

    2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 25?3?t

    3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.

    五.回顾总结

    1.平均变化率的概念

    2.函数在某点处附近的平均变化率

    六.布置作业

    222

    导数与导函数的概念

    教学目标:

    1、知识与技能:理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法;

    理解导数的几何意义;

    理解导函数的概念和意义;

    2、过程与方法:先理解概念背景,培养解决问题的能力;再掌握定义和几何意义,培养转化问题的

    能力;最后求切线方程,培养转化问题的能力

    3、情感态度及价值观;让学生感受事物之间的联系,体会数学的美。

    教学重点:

    1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用

    教学难点:

    1、导数概念的理解;2、导函数的理解、认识和运用

    教学过程:

    一、情境引入

    在前面我们解决的问题:

    1、求函数f(x)?x2在点(2,4)处的切线斜率。

    ?yf(2??x)?f(x)??4??x,故斜率为4 ?x?x

    2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V?t?1,求t?to时的瞬时速度。 2

    ?Vv(to??t)?v(to)??2to??t,故斜率为4 ?t?t

    二、知识点讲解

    上述两个函数f(x)和V(t)中,当?x(?t)无限趋近于0时,?V?V()都无限趋近于一个常数。 ?t?x

    归纳:一般的,定义在区间(a,b)上的函数f(x),xo?(a,b),当?x无限趋近于0时,?yf(xo??x)?f(xo)?无限趋近于一个固定的常数A,则称f(x)在x?xo处可导,并称A为f(x)在?x?x

    x?xo处的导数,记作f'(xo)或f'(x)|x?xo,

    上述两个问题中:(1)f'(2)?4,(2)V'(to)?2to

    三、几何意义:

    我们上述过程可以看出

    f(x)在x?x0处的导数就是f(x)在x?x0处的切线斜率。

    四、例题选讲

    例1、求下列函数在相应位置的导数

    2(1)f(x)?x?1,x?2 (2)f(x)?2x?1,x?2

    篇二:高中数学选修2-2全套教案

    第二章 推理与证明

    合情推理

    掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。

    通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

    感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到数学学习的美感。

    ●教学重点:归纳推理及方法的总结。

    ●教学难点:归纳推理的含义及其具体应用。

    ●教具准备:与教材内容相关的资料。

    ●课时安排:1课时

    ●教学过程:

    一.问题情境

    (1)原理初探

    ①引入:“阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球!”

    ②提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在?

    ③探究:他是怎么发现“杠杆原理”的?

    从而引入两则小典故:(图片展示-阿基米德的灵感)

    A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水?

    B:修筑河堤时,奴隶们是怎样搬运巨石的?

    正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的“杠杆原理”。

    ④思考:整个过程对你有什么启发?

    ⑤启发:在教师的引导下归纳出:“科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想和证明”。

    (2)皇冠明珠

    追逐先辈的足迹,接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。

    链接:

    思考:其他偶数是否也有类似的规律?

    ③讨论:组织学生进行交流、探讨。

    ④检验:2和4可以吗?为什么不行?

    ⑤归纳:通过刚才的探究,由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

    3.数学建构

    ●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).

    注:归纳推理的特点;

    简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

    ●归纳推理的一般步骤:

    4.师生活动

    例1 前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

    结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

    例2 前提:三角形的内角和是1800,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400,……

    结论:凸n 边形的内角和是(n—2)31800。

    例3

    探究:上述结论都成立吗?

    强调:归纳推理的结果不一定成立! —— “ 一切皆有可能!”

    5.提高巩固 22?122?222?3?,?,?,? 33?133?233?3bb+m?(a,b,m均为正实数)。aa+m

    例4:已知数列?an?的第一项a1?1,且an?1?

    数列的通项公式。an(n?1,2,......),试归纳出这个 1?an

    ①探索:先让学生独立进行思考。

    ②活动:“千里走单骑” — 鼓励学生说出自己的解题思路。

    ③活动:“圆桌会议” — 鼓励其他同学给予评价,对在哪里?错在哪里?还有没有更好的方法?

    【设计意图】:提供一个舞台, 让学生展示自己的才华,这将极大地调动学生的积极性,增强学生的荣誉感,培养学生独立分析问题和解决问题的能力,体现了“自主探究”,同时,也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

    【一点心得】:在“千里走单骑”和“圆桌会议”的探究活动中,教师一定要以“鼓励和表扬”为主,面带微笑,消除学生的恐惧感,提高学生的自信心.

    ⑵能力培养(例2拓展)

    例4拓展:a1?2,a2?1,a3?21,a4?,求an?? 32

    ①思考:怎么求an?组织学生进行探究,寻找规律。

    ②归纳:由学生讨论,归纳技巧,得到技巧②和③。

    技巧②:有整数和分数时,往往将整数化为分数.

    技巧③:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规

    律.

    6.课堂小结

    (1)归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。

    (2)归纳推理的一般步骤:

    通过观察个别情况发现某些相同的性质 一般命题(猜想)

    证明

    课题:

    类比推理

    ●教学目标:

    通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本方法,并把它用于对

    题的发现中去。

    类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质

    相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。

    正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析问题、

    发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。

    认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学的正确数学意识。 ●教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。

    ●教学难点:用类比进行推理,做出猜想。

    ●教具准备:与教材内容相关的资料。

    ●课时安排:1课时

    ●教学过程:

    一.问题情境

    从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子.

    他的思路是这样的:

    茅草是齿形的;

    茅草能割破手.

    我需要一种能割断木头的工具;

    它也可以是齿形的.

    这个推理过程是归纳推理吗?

    二.数学活动

    我们再看几个类似的推理实例。

    例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

    等式的性质:猜想不等式的性质:

    (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c;

    (2) a=b? ac=bc;(2) a>b? ac>bc;

    (3) a=b?a2=b2;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。

    问:这样猜想出的结论是否一定正确?

    例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.

    圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.

    球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合.

    圆 球

    弦←→截面圆

    直径←→大圆

    周长←→表面积

    面积←→体积

    篇三:高中数学人教A版选修2-2教案

    年月 日

    1.1.1变化率问题

    教学目标

    ㈠知识目标:1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义; ㈡能力目标:会求函数在某点处附近的平均变化率

    ㈢情感态度与价值观:

    学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物.

    教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学方法及学习方式:讨论式 教学过程:

    一.创设情景

    为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研

    究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:

    一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

    三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

    导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

    导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

    ? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?

    3V4?

    43

    ?r

    3

    ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?

    分析: r(V)?

    3V4?

    0增加到1时,气球半径增加了

    ⑴ 当V从

    r(1)?r(0)?0.62(dm)

    高中数学选修22教案

    气球的平均膨胀率为

    r(1)?r(0)1?0

    ?0.62(dm/L)

    ⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?

    r(1)?0.16(dm)

    气球的平均膨胀率为

    r(2)?r(1)2?1

    ?0.16(dm/L)

    可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.

    思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水

    在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?

    思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v 在0?t?0.5这段时间里,v?在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?

    h(0.5)?h(0)0.5?02?16549

    ?4.05(m/s);

    r(V2)?r(V1)V2?V1

    h(2)?h(1)

    ??8.2(m/s)

    这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

    ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

    ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

    探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像,结合图形可知,h(

    h(65)?h(0)

    ?0(s/m),

    ?0

    6549

    6549

    )?h(0),

    所以v?

    496549

    虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍然运

    动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念: 1.上述问题中的变化率可用式子 化率

    f(x2)?f(x1)

    x2?x1

    表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变

    2.若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用

    x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))

    3. 则平均变化率为

    ?y?x

    ??f?x

    ?

    f(x2)?f(x1)

    x2?x1

    ?

    f(x1??x)?f(x1)

    ?x

    思考:观察函数f(x)的图象

    平均变化率

    ?f?x

    ?

    f(x2)?f(x1)

    x2?x1

    表示什么?

    y

    直线AB

    三.典例分析

    2

    例1.已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点

    B(?1??x,?2??y),则

    ?y?x

    ?.

    解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x),

    ?y?x

    ?(?1??x)?(?1??x)?2

    ?x

    2

    ∴??3??x

    例2. 求y?x2在x?x0附近的平均变化率。

    2

    2

    解:?y?(x0??x)?x0,所以

    ?y?x

    ?

    (x0??x)?x0

    ?x

    2

    22

    2

    ?

    x0?2x0?x??x?x0

    ?x

    2

    ?2x0??x

    2

    所以y?x在x?x0附近的平均变化率为2x0??x

    四.课堂练习

    1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为. 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率.

    2

    五.回顾总结

    1.平均变化率的概念

    2.函数在某点处附近的平均变化率 六.布置作业 七.板书设计:

    课后反馈

    年 月日

    1.1.2导数的概念

    教学目标:

    ㈠知识目标:了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; ㈡能力目标:⒈理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;

    ⒉会求函数在某点的导数.

    ㈢情感态度与价值观:

    学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会用联系的观点看待事物.

    教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念; 教学难点:导数的概念. 教学方法及学习方式:讨论式 教学过程: 一.创设情景

    (一)平均变化率

    (二)探究:计算运动员在0?t?

    6549

    这段时间里的平均速度,并思考以下问题:

    ⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

    ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

    探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t+6.5t+10的图像,结合图形可知,h(

    2

    6549

    )?h(0),

    h(

    65

    所以v?

    496549

    )?h(0)

    ?0(s/m),

    ?0

    6549

    虽然运动员在0?t?这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际

    情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 二.新课讲授

    1.瞬时速度

    我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一

    时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t?2时的瞬时速度是多

    少?考察t

    ?2附近的情况:

    思考:当?t趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势?

    结论:当?t趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v都趋近于一个确定的值?13.1.

    从物理的角度看,时间?t间隔无限变小时,平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度,因此,运动员在t?2时的瞬时速度是?13.1m/s 为了表述方便,我们用lim

    h(2??t)?h(2)

    ?t

    ?t?0

    ??13.1

    表示“当t?2,?t趋近于0时,平均速度v趋近于定值?13.1”

    小结:局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

    2 导数的概念

    从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

    ?x?0

    lim

    f(x0??x)?f(x0)

    ?x

    ?lim

    ?f?x

    ?x?0

    '

    '

    我们称它为函数y?f(x)在x?x0出的导数,记作f(x0)或y|x?x,即